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1 函数依赖

函数依赖(functional dependency，FD)是一种完整性约束，是现实世界事物属性之间的一种制约关系，它广泛地存在于现实世界之中。

1.1 函数依赖

定义：设 r ( R ) r(R) r(R) 为关系模式， α ⊆ R ， β ⊆ R \alpha \subseteq R，\beta \subseteq R α⊆R，β⊆R。对任意合法关系 r r r 及其中任两个元组 t i ， t j ， i ≠ j t_i，t_j，i \neq j ti​，tj​，i​=j ，若 t i [ α ] = t j [ α ] t_i[\alpha]=t_j[\alpha] ti​[α]=tj​[α]，则 t i [ β ] = t j [ β ] t_i[\beta]=t_j[\beta] ti​[β]=tj​[β]，则称 α \alpha α 函数确定 β \beta β ，或 β \beta β 函数依赖于 α \alpha α，记作 α → β \alpha \rightarrow \beta α→β。

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如图是满足满足函数依赖 A B → C AB→C AB→C 的关系模式 r ( A ， B ， C ， D ) r(A，B，C，D) r(A，B，C，D) 的一个关系实例。由图可知，对任意两个在属性集 { A ， B } \{A，B\} {A，B} 上取值相同的元组，它们在 C C C 上的取值也相同。例如：对于第1个和第2个元组： t 1 [ A ， B ] = t 2 [ A ， B ] = ( a 1 ， b 1 ) ， 且 t 1 [ C ] = t 2 C ] = c 1 ) t_1[A，B]=t_2[A，B]=(a1，b1)，且t_1[C]=t_2C]=c1) t1​[A，B]=t2​[A，B]=(a1，b1)，且t1​[C]=t2​C]=c1)

1.2 平凡与非平凡函数依赖

定义：在关系模式 r ( R ) r(R) r(R) 中， α ⊆ R ， β ⊆ R \alpha \subseteq R，\beta \subseteq R α⊆R，β⊆R。若 α → β \alpha \rightarrow \beta α→β 但 β ⊈ α \beta \not\subseteq \alpha β​⊆α，则称 α → β \alpha \rightarrow \beta α→β 是非平凡函数依赖。否则，若 β ⊆ α \beta \subseteq \alpha β⊆α，则称 α → β \alpha \rightarrow \beta α→β 是平凡函数依赖。
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1.3 完全函数依赖和部分函数依赖

定义：在关系模式 r ( R ) r(R) r(R) 中， α ⊆ R ， β ⊆ R \alpha \subseteq R，\beta \subseteq R α⊆R，β⊆R。且 α → β \alpha \rightarrow \beta α→β 是非平凡函数依赖。若对任意 γ ⊂ α ， γ → β \gamma \subset \alpha，\gamma \rightarrow \beta γ⊂α，γ→β 都不成立，则称 α → β \alpha \rightarrow \beta α→β 是完全函数依赖，简称完全依赖。否则，若存在非空的 γ ⊂ α 使 γ → β \gamma \subset \alpha使\gamma \rightarrow \beta γ⊂α使γ→β 成立 ，则称 α → β \alpha \rightarrow \beta α→β 是部分函数依赖简称部分依赖。

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示例说明：
α : { s t u d e n t N o ， c o u r s e N o } ， b e t a : { s c o r e } ， γ : { s t u d e n t N o } 、 { c o u r s e N o } \alpha:\{studentNo，courseNo\}，beta:\{score\}，\gamma:\{studentNo\}、\{courseNo\} α:{studentNo，courseNo}，beta:{score}，γ:{studentNo}、{courseNo}

  • 完全依赖
    由学生学号、课程号可以唯一确定一门课程的分数：
    {studentNo，courseNo}—>score；
    由学生学号可以唯一确定一个学生姓名：
    studentNo—>studentName；
    由课程号可以唯一确定一个课程名：
    courseNo—>courseName。
    studentNo 、courseNo都是 {studentNo，courseNo}的子集，
    但    studentNo / courseNo     都不能唯一确定score。
  • 部分依赖
    {studentNo，courseNo}—>studentName;
    {studentNo，courseNo}—>courseName;
    studentNo 、courseNo都是 {studentNo，courseNo}的子集，
    studentNo—>studentName；
    courseNo—>courseName

1.4 传递函数依赖

定义：在关系模式 r ( R ) 中 ， α ⊆ R , β ⊆ R , γ ⊆ R 。 若 α → β , β → γ r(R)中，\alpha \subseteq R,\beta \subseteq R,\gamma \subseteq R。若\alpha \rightarrow \beta,\beta \rightarrow \gamma r(R)中，α⊆R,β⊆R,γ⊆R。若α→β,β→γ 则必存在函数依赖 α → γ ; 若 α → β , β → γ 和 α → γ \alpha \rightarrow \gamma;若\alpha \rightarrow \beta,\beta \rightarrow \gamma和\alpha \rightarrow \gamma α→γ;若α→β,β→γ和α→γ都是非平凡函数依赖，且 β ↛ α \beta \nrightarrow \alpha β↛α，则称 α → γ \alpha \rightarrow \gamma α→γ 是传递函数依赖，简称传递依赖。

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示例说明：
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  • 传递依赖
    由学生学号可以唯一确定一个班级编号、班级名称、学院名称：
    studentNo—>{classNo, className, institute};
    由班级编号可以唯一确定一个班级名称、学院名称:
    classNo—>{className, institute};
    且由classNo不能唯一确定studentNo。
    从上述两个函数依赖关系中可以得出：
    studentNo—>{className, institute}，故存在传递依赖。

2 范式(Normal Form)

  基于函数依赖理论，关系模式可分成第一范式(1NF)，第二范式(2NF)，第三范式(3NF)和 Boyce-Codd 范式(BCNF)。这几种范式的要求一个比一个严格，它们之间的联系为BCNF ⊂ 3NF ⊂ 2NF ⊂ 1NF。即满足 BCNF 范式的关系一定满足3NF范式，满足3NF 范式的关系一定满足2NF范式，满足2NF范式的关系一定满足1NF范式。
1NF 每个属性对应的域值都是不可分的
2NF 所有非主属性都完全依赖于候选码
3NF 非主属性必须完全依赖且直接依赖于候选码
(允许存在主属性对候选码的传递依赖和部分依赖)
BCNF 消除原关系中主属性对键的部分与传递依赖

2.1 第一范式(1NF)— 码

定义：如果一关系模式 r ( R ) r(R) r(R) 的每个属性对应的域值都是不可分的，则称 r ( R ) r(R) r(R) 属于第一范式，记为 r ( R ) ∈ 1 N F r(R)\in 1NF r(R)∈1NF。
第一范式的目标是：将基本数据划分成称为实体集或表的逻辑单元，当设计好每个实体后，需要为其指定主码。

2.2 第二范式(2NF)— 全部是码

定义1：设有一关系模式 r ( R ) ， α ⊆ R r(R)，\alpha \subseteq R r(R)，α⊆R。若 α \alpha α 包含在 r ( R ) r(R) r(R) 的某个候选码中，则 α \alpha α 称为主属性，否则 α \alpha α 为非主属性。

定义2：如果一关系模式 r ( R ) ∈ 1 N F r(R)\in 1NF r(R)∈1NF，且所有非主属性都完全函数依赖于 r ( R ) r(R) r(R) 的候选码，则称 r ( R ) r(R) r(R) 属于第二范式，记为 r ( R ) ∈ 2 N F r(R)\in 2NF r(R)∈2NF。

也就是说，对于满足第一范式(1NF)的关系模式，如果有复合候选码(即多个属性共同构成的候选码)，那么非主属性不允许依赖于部分的候选码属性，必须依赖于全部的候选码属性—全部是码。

第二范式的目标是：将只部分依赖于候选码(即依赖于候选码的部分属性)的非主属性通过关系模式分解移到其他表中去。

2.3 第三范式(3NF)— 仅仅是码

定义：如果一关系模式 r ( R ) ∈ 2 N F r(R)\in 2NF r(R)∈2NF，且所有非主属性都直接函数依赖于 r ( R ) r(R) r(R) 的候选码(即不存在非主属性传递依赖于候选码)，则称 r ( R ) r(R) r(R) 属于第三范式，记为 r ( R ) ∈ 3 N F r(R)\in 3NF r(R)∈3NF。

也就是说，对于满足第二范式(2NF)的关系模式，非主属性不能依赖于另一个(组)非主属性(这样就形成了对候选码的传递依赖)，即非主属性只能直接依赖于候选码—仅仅是码。

第三范式的目标是：将不直接依赖于候选码(即传递依赖于候选码)的非主属性通过关系模式分解移到其他表中去。

总之，所有的非主属性应该直接依赖于(即不能存在传递依赖，这是3NF的要求)全部的候选码(即必须完全依赖，不能存在部分依赖，这是2NF的要求)。

例1： r ( R ) = r ( A ， B ， C ， D ) r(R)=r(A，B，C，D) r(R)=r(A，B，C，D)，函数依赖集 F = r ( A B → C ， B → D ) F=r(AB→C，B→D) F=r(AB→C，B→D)， r ( R ) r(R) r(R) 的候选码为AB，则 r ( R ) ∉ 2 N F r(R) \not\in2NF r(R)​∈2NF。因为非主属性D依赖于候选码B(即部分依赖于AB)。
解决： r ( R ) r(R) r(R) 分解为 r 1 ( R 1 ) = r 1 ( A ， B ， C ) , r 2 ( R 2 ) = r 2 ( B ， D ) r_1(R_1)=r_1(A，B，C),r_2(R_2)=r_2(B，D) r1​(R1​)=r1​(A，B，C),r2​(R2​)=r2​(B，D)；此时 r 1 ( R 1 ) ∈ 3 N F 、 r 2 ( R 2 ) ∈ 3 N F r_1(R_1) \in3NF、r_2(R_2) \in3NF r1​(R1​)∈3NF、r2​(R2​)∈3NF，候选码分别为AB、B。

例2： r ( R ) = r ( A ， B ， C ) r(R)=r(A，B，C) r(R)=r(A，B，C)，函数依赖集 F = r ( A → B ， B → C ) F=r(A→B，B→C) F=r(A→B，B→C)， r ( R ) 的 候 选 码 为 A ， r ( R ) ∈ 2 N F r(R)的候选码为A， r(R) \in2NF r(R)的候选码为A，r(R)∈2NF，但 r ( R ) ∉ 3 N F r(R) \not\in3NF r(R)​∈3NF。因为C依赖于非主属性B。
解决： r ( R ) 分 解 为 r 1 ( R 1 ) = r 1 ( A ， B ) ， r 2 ( R 2 ) = r 2 ( B ， C ) r(R) 分解为 r_1(R_1)=r_1(A，B)，r_2(R_2)=r_2(B，C) r(R)分解为r1​(R1​)=r1​(A，B)，r2​(R2​)=r2​(B，C)；此时 r 1 ( R 1 ) ∈ 3 N F 、 r 2 ( R 2 ) ∈ 3 N F r_1(R_1)\in 3NF、r_2(R_2)\in 3NF r1​(R1​)∈3NF、r2​(R2​)∈3NF，候选码分别为A、B。

例3： r ( R ) = r ( A ， B ， C ， D ， E ) r(R)=r(A，B，C，D，E) r(R)=r(A，B，C，D，E)，函数依赖集 F = r ( A B → C ， B → D ， C → E ) F=r(AB→C，B→D，C→E) F=r(AB→C，B→D，C→E)， r ( R ) r(R) r(R) 的候选码为AB，则 r ( R ) ∉ 2 N F r(R) \not\in2NF r(R)​∈2NF。因为非主属性D只依赖于候选码B(即部分依赖于AB)。
解决： r ( R ) 分 解 为 r 1 ( R 1 ) = r 1 ( A ， B ， C ) ， r 2 ( R 2 ) = r 2 ( B ， D ) ， r 3 ( R 3 ) = r 3 ( C ， E ) ； 此 时 r 1 ( R 1 ) ∈ 3 N F 、 r 2 ( R 2 ) ∈ 3 N F 、 r 3 ( R 3 ) ∈ 3 N F r(R)分解为 r_1(R_1)=r_1(A，B，C)，r_2(R_2)=r_2(B，D)，r_3(R_3)=r_3(C，E)；此时r_1(R_1)\in 3NF、r_2(R_2) \in3NF、r_3(R_3) \in3NF r(R)分解为r1​(R1​)=r1​(A，B，C)，r2​(R2​)=r2​(B，D)，r3​(R3​)=r3​(C，E)；此时r1​(R1​)∈3NF、r2​(R2​)∈3NF、r3​(R3​)∈3NF，候选码分别为AB、B、C。

例4： r ( R ) = r ( A ， B ， C ) r(R)=r(A，B，C) r(R)=r(A，B，C)，函数依赖集 F = r ( A B → C ， C → A ) ， r ( R ) F=r(AB→C，C→A)，r(R) F=r(AB→C，C→A)，r(R)的候选码为AB或BC， r ( R ) ∈ 3 N F r(R) \in3NF r(R)∈3NF。因为关系模式 r ( R ) r(R) r(R) 中没有非主属性，也就不可能有非主属性对候选码的部分/传递依赖。

总结：
1NF：每个属性对应的域值都是不可分的
2NF：非主属性都完全依赖于候选码
3NF：非主属性必须完全依赖且直接依赖于候选码

2.4 Boyce–Codd范式(BCNF)

BCNF范式：能排除所有部分依赖和传递依赖的BCNF范式。

定义：给定关系模式 r ( R ) ∈ 1 N F r(R) \in 1NF r(R)∈1NF，函数依赖集 F，若 F + F^+ F+ (表示F的闭包)中的所有函数依赖 α → β ( α ⊆ R , β ⊆ R ) \alpha \rightarrow \beta(\alpha \subseteq R,\beta \subseteq R) α→β(α⊆R,β⊆R)。至少满足下列条件之一：

  1. α → β \alpha \rightarrow \beta α→β 是平凡函数依赖(即 β ⊆ α \beta \subseteq \alpha β⊆α)；
  2. α \alpha α 是 r ( R ) r(R) r(R) 的一个超码(即 α \alpha α中包含 R R R 的候选码)

则称 r ( R ) r(R) r(R)属于Boyce-Codd范式，记为 r ( R ) ∈ B C N F r(R) \in BCNF r(R)∈BCNF。

换句话说，在关系模式 r ( R ) r(R) r(R) 中，如果 F + F^+ F+ 中的每一个非平凡函数依赖的决定属性集 α \alpha α 都包含候选码，则 r ( R ) ∈ B C N F r(R) \in BCNF r(R)∈BCNF。必须说明的是，为确定 r ( R ) r(R) r(R) 是否满足BCNF.必须考虑 F + F^+ F+ 而不是 F F F 中的每个函数依赖。

满足BCNF条件有：

  • 所有非主属性都完全函数依赖于每一个候选键；
  • 所有主属性都完全函数依赖于每一个不包含它的候选键；
  • 没有任何属性完全函数依赖于非候选键的任何一组属性。
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