人工智能基本原理-逻辑学基础-命题逻辑【by火花同学】

本文是人工智能基本原理专栏的第一篇文章，主题为命题逻辑。逻辑学和人工智能是密不可分的，逻辑学为人工智能的发展提供了理论基础。同时，不同的逻辑学体系或流派也会给人工智能带来更多的选择和发展方向。本文主要讲述了命题基本逻辑的相关概念和基本的命题逻辑形式的变换方法。

0.什么是命题逻辑？（定义）

• 命题逻辑（proposition logic） 是应用一套形式化规则对以符号表示的描述性陈述进行推理的系统。

• 原子命题：在命题逻辑中一个或真或假的描述性陈述被称为原子命题，对原子命题的内部结构不做任何解析。

• 复合命题：多个原子命题可以通过逻辑运算符来构成复合命题。

1.怎么表示命题？（命题表示）

• 对于原子命题没有特殊的表示方法。

• 对于复合命题，可以通过命题联结词连接构成复合命题。

若存在p、q两个命题，现在通过这两个命题来介绍主要的命题连接符号：

命题联结词	表示形式	意义
与(and)	p⋀q	合取、p且q
或(or)	p⋁q	析取、p或q
非（not）	¬p	否定、非p
条件(conditional)	p→q	蕴含，如果p则q
双向条件(bi-conditional)	p↔q	双向蕴含，p当且仅当q

上述的表格对5种命题联结词做了基本的介绍，这五种逻辑联结词对应的真值表如下。

p	q	¬p	p⋀q	p∨q	p⇒q	p⇔q
False	False	True	False	False	True	True
False	True	True	False	True	True	False
True	False	False	False	True	False	False
True	True	False	True	True	True	True
本身	本身	相反	全真为真、否则为假	全假为假、否则为真	假不能推真	相同为真、不同为假

此处需要对蕴含命题作出一个特殊的解释，蕴含逻辑的解释如图1：

当p为假时，相当于图中的黄色区域为空集，空集一定会蕴含于q中，所以当p为假时p→q永远为真。

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2.什么是逻辑等价？

当p和q在任何情况下都具有同样的真假结果，我们认为p和q再逻辑上等价，一般用p≡q表示。

逻辑等价为命题进行形式转换带来了可能，基于这些转换的基础之上我们不再需要逐一列出p和q的真值表来判断两者是否在逻辑上等价，而是可以根据已有逻辑等价公式来判断p和q在逻辑上是否等价。

下图是逻辑等价的常用公式：

根据上述的逻辑等价常用的公式，我们可以在改变命题的表达形式时进行形式的转换。

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3.怎么进行推理？（推理规则）

• 假言推理

$\frac{\alpha \Rightarrow \beta ,\alpha }{\beta }$

• 与消解

$\frac{{\alpha }_1\wedge {\alpha }_2\wedge \cdots \wedge {\alpha }_n}{{\alpha }_i(1\le i\le n)}$

• 与导入

$\frac{{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n}{{\alpha }_1\wedge {\alpha }_2\wedge \cdots \wedge {\alpha }_n}$

• 双重否定

$\frac{\neg \neg \alpha }{\alpha }$

• 单项消解或单项归结

$\frac{\alpha \vee \beta ,\neg \beta }{\alpha }$

• 消解或归结

$\frac{\alpha \vee \beta ,\neg \beta \vee \gamma }{\alpha \vee \gamma },\frac{{\alpha }_1\vee {\alpha }_2\vee \cdots \vee {\alpha }_m\neg \beta }{{\alpha }_1\vee {\alpha }_2\vee \cdots \vee {\alpha }_{k-1}\vee {\alpha }_{k+1}\vee \cdots \vee {\alpha }_m}\left(\neg {\alpha }_k=\neg \beta \right)$

运用上述的公式，结合正确的推理顺序和推理方法，即可证明出某些我们想要的形式的结论

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4.命题范式

范式是命题逻辑中的重要概念。范式是把命题公式化归结成一种标准的形式。

范式最大的作用是可以判断两个命题是否等价。

• 析取范式：由有限个简单合取式构成的析取式。

  $例如：(\neg {\alpha }_1\wedge {\alpha }_2)\vee {\alpha }_3,\neg {\alpha }_1\vee {\alpha }_3\vee {\alpha }_2等$

• 合取范式：由有限个简单析取式构成的合取式。

  $例如：({\alpha }_1\vee {\alpha }_2)\wedge \neg {\alpha }_3,\neg {\alpha }_1\wedge {\alpha }_3\wedge (\neg {\alpha }_2\vee {\alpha }_4)等$

• 析取范式和合取范式统称为范式。

• 一个析取范式不成立当且仅当它的每个简单合取式都不成立。

• 一个合取范式成立当且仅当它的每个简单析取式都成立。

• 命题的析取范式和合取范式不唯一。

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写在文末的话

本文是人工智能基本原理系列的第一篇文章，主要讲解了人工智能基本原理的逻辑学基础部分的命题逻辑问题，后续的文章中，在逻辑学基础部分会继续介绍其他的逻辑学基础知识，以及其他部分的人工智能基本原理相关知识的内容。

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