深度学习——误差计算与梯度推导

1、均方误差(MSE)

1.1 均方误差(MSE)概述

均方误差是一种常见的损失函数，一般在回归问题中比较常见，其基本公式为:
$$MSE=\frac{1}{C}\sum _{i=1}^L(y_{ri}-y_i{)}^2$$
其中，C是一个超参数，为了便于求导，一般情况下取C=2。$y_{ri}$是真实的标签值的第i个属性值，
$y_i$表示预测值的第i个属性值。

1.2 均方误差的梯度

下面假设：
$$J=MSE=\frac{1}{C}\sum _{i=1}^L(y_{ri}-y_i{)}^2$$
则有：
$$\frac{2J}{\partial y_i}=\frac{\partial \frac{1}{C}{\sum }_{i=1}^L(y_{ri}-y_i{)}^2}{\partial y_i}=\frac{2}{C}(y_{ri}-y_i)\ast (-1)=\frac{2}{C}(y_i-y_{ri})$$
整理成向量的形式有：
$$\frac{2J}{\partial y}=\frac{2}{C}\ast \begin{array}{c}{y}_1-y_{r1}\\ y_2-y_{r2}\\ \dots \dots \\ y_L-y_{rL}\end{array}$$

2 sotfmax + 交叉熵

2.1 简单介绍

sotfmax和交叉熵通常被用于分类任务中，其中，softmax的定义为：
$$y_i=\frac{e^{o_i}}{{\sum }_{j=1}^L{e}^{o_j}}$$
其中，$o_i$表示输出单元输出的第i个属性值，一般情况下，$y_i$表示属于第i类的概率。
交叉熵的损失函数定义为：
$$J=-\sum _{i=1}^L{y}_{ri}ln(y_i)$$
其中$y_{ri}$表示真实的第i类的概率值。

一般情况下，softmax产生的是一个L维的概率分布Y。而真实向量$Y_r$是一个01向量，1表示对应的分类。0表示不是该分类。

2.2 梯度计算

现在，我们假设在真实的分类向量$Y_r$中，对应的是第s个分类。则有$y_s=1,y_{i\ne s}=0$。

我们分成两种情况：

1. 当i=s的时候，有：
   $$J=-y_{rs}ln(y_s)$$
   $$y_s=\frac{e^{o_s}}{{\sum }_{j=1}^L{e}^{o_j}}$$
   则有：
   $$\frac{\partial J}{\partial o_s}=\frac{\partial J}{\partial y_s}\ast \frac{\partial y_s}{\partial o_s}=\frac{\partial (-y_{rs}ln(y_s))}{\partial y_s}\ast \frac{\partial \frac{e^{o_s}}{{\sum }_{j=1}^L{e}^{o_j}}}{\partial o_s}$$
   根据$J和y_s$进一步化简有：
   $$\frac{\partial (-y_{rs}ln(y_s))}{\partial y_s}=-y_{rs}\ast \frac{1}{y_s}$$
   $$\frac{\partial \frac{e^{o_s}}{{\sum }_{j=1}^L{e}^{o_j}}}{\partial o_s}=\frac{e^{o_s}\ast ({\sum }_{j=1}^L{e}^{o_j}-e^{o_s})}{({\sum }_{j=1}^L{e}^{o_j}{)}^2}$$
   将上式带入到原始的式子中，有:
   $$\frac{\partial J}{\partial o_s}=-y_{rs}\ast \frac{{\sum }_{j=1}^L{e}^{o_j}}{e^{o_s}}\ast \frac{e^{o_s}\ast ({\sum }_{j=1}^L{e}^{o_j}-e^{o_s})}{({\sum }_{j=1}^L{e}^{o_j}{)}^2}=-y_{rs}\ast (1-y_s)$$

2. 当i≠s的时候，有:
   $$J=-y_{rs}ln(y_s)$$
   $$y_i=\frac{e^{o_i}}{{\sum }_{j=1}^L{e}^{o_j}}$$
   则有:
   $$\frac{\partial J}{\partial o_i}=\frac{\partial J}{\partial y_s}\ast \frac{\partial y_s}{\partial o_i}=-y_{rs}\ast \frac{1}{y_s}\ast \frac{\partial y_s}{\partial o_i}$$
   其中：
   $$\frac{\partial y_s}{\partial o_i}=\frac{-e^{o_s}\ast e^{o_i}}{({\sum }_{j=1}^L{e}^{o_j}{)}^2}$$
   带入到原式子之后：
   $$\frac{\partial J}{\partial o_i}=-y_{rs}\ast \frac{{\sum }_{j=1}^L{e}^{o_j}}{e^{o_s}}\ast \frac{-e^{o_s}\ast e^{o_i}}{({\sum }_{j=1}^L{e}^{o_j}{)}^2}=y_{rs}\ast y_i$$

3. 最后，我们能够发现：根据$y_{rs}=1$，上面两种情况的计算结果可以化简为：

当i=s的时候，导数为：$y_s-1=y_s-y_{rs}$
当i≠s的时候，导数为: $y_i-0=y_i-y_{ri}$

由此可以总结出：
$$\frac{\partial J}{\partial o_i}=y_i-y_{ri}$$