上图摘自 NMF 作者的论文， 左侧 为 W矩阵 ，可以看出从原始图像中抽取出来的 特征 ， 中间 的

是 H矩阵 。可以发现乘积结果与原结果是很像的。

2 矩阵分解优化目标

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最小化 W 矩阵 H 矩阵的乘积和原始矩阵之间的差别，目标函数如下：

基于 KL 散度的优化目标，损失函数如下：

(公式的推导略)

3 案例

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NMF人脸数据特征提取：

**目标：**已知Olivetti人脸数据共400个，每个数据是64*64大小。由于NMF分解得到的 W矩阵相

当于从原始矩阵中提取的特征 ，那么就可以使用NMF对400个人脸数据进行特征提取。

通过设置k的大小，设置提取的特征的数目。在本实验中设置k=6，随后将提取的特征以图像的形式展示出来。

4 代码实现（Python）

---

在sklearn库中，可以使用sklearn.decomposition.NMF加载NMF算法，主要参数有：

• n_components：用于指定分解后矩阵的单个维度k；

• init：W矩阵和H矩阵的初始化方式，默认为‘nndsvdar’。

4.1 代码

#1. 建立工程，导入sklearn相关工具包：=

from numpy.random import RandomState #加载RandomState用于创建随机种子

import matplotlib.pyplot as plt

from sklearn.datasets import fetch_olivetti_faces #加载Olivetti人脸数据集导入函数

from sklearn import decomposition #加载PCA算法包

from pylab import *

import matplotlib; matplotlib.use(‘TkAgg’)

mpl.rcParams[‘font.sans-serif’] = [‘SimHei’]

mpl.rcParams[‘axes.unicode_minus’] = False

#==2. 设置基本参数并加载数据：=

n_row, n_col = 2, 3 #设置图像展示时的排列情况，如右图

n_components = n_row * n_col #设置提取的特征的数目

image_shape = (64, 64) #设置人脸数据图片的大小

#=3.下载人脸数据:============

dataset = fetch_olivetti_faces(shuffle=True, random_state=RandomState(0)) #加载数据，并打乱顺序

faces = dataset.data #加载数据，并打乱顺序

#=4. 设置图像的展示方式:======

def plot_gallery(title, images, n_col=n_col, n_row=n_row):

plt.figure(figsize=(2. * n_col, 2.26 * n_row)) #创建图片，并指定图片大小（英寸）

plt.suptitle(title, size=16) #设置标题及字号大小

for i, comp in enumerate(images):

plt.subplot(n_row, n_col, i + 1) #选择画制的子图

vmax = max(comp.max(), -comp.min())

#对数值归一化，并以灰度图形式显示

plt.imshow(comp.reshape(image_shape), cmap=plt.cm.gray,

interpolation=‘nearest’, vmin=-vmax, vmax=vmax)

plt.xticks(()) #去除子图的坐标轴标签

plt.yticks(())

plt.subplots_adjust(0.01, 0.05, 0.99, 0.94, 0.04, 0.) #对子图位置及间隔调整

plot_gallery(“首先是奥利维蒂的脸”, faces[:n_components])

#===5.创建特征提取的对象NMF，使用PCA作为对比：

estimators = [

(‘基于随机奇异值分解的特征脸PCA’, #提取方法名称

decomposition.PCA(n_components=6, whiten=True)), #PCA实例

(‘非负性成分-NMF’, #提取方法名称

decomposition.NMF(n_components=6, init=‘nndsvda’, tol=5e-3)) #NMF实例

]

#=6.降维后数据点的可视化：===========

for name, estimator in estimators: #分别调用PCA和NMF

print(“Extracting the top %d %s…” % (n_components, name))

print(faces.shape)

estimator.fit(faces) #调用PCA或NMF提取特征(数据训练）

components_ = estimator.components_ #获取提取的特征

plot_gallery(name, components_[:n_components]) #按照固定格式进行排列

plt.show()

4.2 结果展示

Extracting the top 6 基于随机奇异值分解的特征脸PCA…

(400, 4096)

Extracting the top 6 非负性成分-NMF…

(400, 4096)

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