一、逆矩阵的定义

（一）定义阐述

在数的乘法运算中，对于非零实数$a$，存在倒数$\frac{1}{a}$，使得$a\times \frac{1}{a}=1$。逆矩阵的概念与之类似，不过应用于矩阵领域。对于$n$阶方阵$A$，若存在唯一的$n$阶方阵$B$，满足$AB=BA=E$（$E$为$n$阶单位矩阵，即主对角线元素为$1$，其余元素为$0$的矩阵），则矩阵$B$称作矩阵$A$的逆矩阵，记为$A^{-1}$。这意味着$A$与$A^{-1}$相乘，无论顺序如何，结果均为单位矩阵$E$。

（二）理解示例

以二阶矩阵为例，对于二阶单位矩阵$E=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$，设矩阵$A=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right]$，存在矩阵$B=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right]$。计算可得：
$AB=\left[\begin{array}{cc}2\times 1+1\times (-1)& 2\times (-1)+1\times 2\\ 1\times 1+1\times (-1)& 1\times (-1)+1\times 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$

$BA=\left[\begin{array}{cc}1\times 2+(-1)\times 1& 1\times 1+(-1)\times 1\\ -1)\times 2+2\times 1& (-1)\times 1+2\times 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$
所以$B$是$A$的逆矩阵，即$A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right]$。

二、逆矩阵的性质

（一）可逆性

若矩阵$A$可逆（即存在$A^{-1}$），则$A^{-1}$也可逆，且$(A^{-1}{)}^{-1}=A$。这如同$a$的倒数是$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{a}$的倒数是$a$。从定义角度理解，因为$A^{-1}$满足$A{A}^{-1}=A^{-1}A=E$，所以$A$是$A^{-1}$的逆矩阵，即$(A^{-1}{)}^{-1}=A$。

（二）乘法性质

1. 乘积可逆性：若$A$、$B$均为$n$阶可逆矩阵，则$AB$也可逆，且$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$。这一性质可通过矩阵乘法结合律证明。因为$AB(B^{-1}{A}^{-1})=A(B{B}^{-1})A^{-1}=AE{A}^{-1}=A{A}^{-1}=E$，同理$(B^{-1}{A}^{-1})AB=E$，所以$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$。例如，若$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$，$B=\left[\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right]$，且$A$、$B$可逆，那么$AB$的逆矩阵为$B^{-1}{A}^{-1}$。此性质表明矩阵乘积的逆矩阵，等于各矩阵逆矩阵的反向乘积，顺序不可颠倒。
2. 数乘可逆性：若$A$可逆，数$\lambda \ne 0$，则$\lambda A$可逆，且$(\lambda A{)}^{-1}=\frac{1}{\lambda }{A}^{-1}$。证明如下：$(\lambda A)(\frac{1}{\lambda }{A}^{-1})=\lambda \times \frac{1}{\lambda }(A{A}^{-1})=E$，同理$(\frac{1}{\lambda }{A}^{-1})(\lambda A)=E$。例如，若$A$可逆，$\lambda =3$，则$3A$的逆矩阵为$\frac{1}{3}{A}^{-1}$。

（三）伴随矩阵与逆矩阵的关系

伴随矩阵$A^{\ast }$与逆矩阵的关系为$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$（$|A|\ne 0$）。伴随矩阵$A^{\ast }$由$A$的代数余子式构成并转置得到。对于$n$阶行列式中元素$a_{ij}$，其代数余子式$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$（$M_{ij}$为$a_{ij}$的余子式，即去掉$a_{ij}$所在行和列后剩余的$n-1$阶行列式）。将所有$A_{ij}$构成矩阵并转置即得$A^{\ast }$。当$|A|\ne 0$时，可据此求逆矩阵。

（四）转置矩阵的可逆性

若$A$可逆，则$A^T$也可逆，且$(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$。证明如下：因为$A{A}^{-1}=E$，两边同时取转置得$(A{A}^{-1}{)}^T=E^T$，根据矩阵转置的性质$(AB{)}^T=B^T{A}^T$，可得$(A^{-1}{)}^T{A}^T=E$，同理$A^T(A^{-1}{)}^T=E$，所以$(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$。

三、逆矩阵的求解方法

（一）公式法

对于$n$阶方阵$A$，当$|A|\ne 0$时，可依公式$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$求逆矩阵。步骤如下：

1. 计算$|A|$：
   • 二阶矩阵$A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$，$|A|=ad-bc$。
   • 三阶矩阵$A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]$，$|A|=a_{11}(a_{22}{a}_{33}-a_{23}{a}_{32})-a_{12}(a_{21}{a}_{33}-a_{23}{a}_{31})+a_{13}(a_{21}{a}_{32}-a_{22}{a}_{31})$。可利用行列式性质，如某行（列）元素全为$0$，行列式为$0$；交换两行（列），行列式变号；某行（列）元素乘以$k$，行列式乘以$k$等，简化计算。
   • 更高阶矩阵行列式计算更复杂，可通过按行（列）展开或化为上（下）三角矩阵计算。
2. 求$A^{\ast }$：先求$A$中各元素代数余子式，再构成矩阵并转置。以三阶矩阵为例，求$a_{11}$的代数余子式$A_{11}=(-1{)}^{1+1}\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{22}{a}_{33}-a_{23}{a}_{32}$，以此类推求出所有代数余子式，构成矩阵$\left[\begin{array}{ccc}{A}_{11}& A_{21}& A_{31}\\ A_{12}& A_{22}& A_{32}\\ A_{13}& A_{23}& A_{33}\end{array}\right]$，转置后得$A^{\ast }$。
3. 代入公式得$A^{-1}$：将$|A|$和$A^{\ast }$代入公式求出$A^{-1}$。此方法对高阶矩阵计算量大。

（四）特殊公式法

设$n$阶矩阵$A$满足$A^2-2A-3E=O$。

1. 由$A^2-2A-3E=O$，移项得$A^2-2A=3E$。
2. 变形为$A(A-2E)=3E$。
3. 两边乘$\frac{1}{3}$，得$A\cdot \frac{1}{3}(A-2E)=E$，所以$A$可逆，且$A^{-1}=\frac{1}{3}(A-2E)$。

此方法是根据矩阵满足的等式，凑出$AB=E$的形式确定逆矩阵。

四、判断矩阵是否可逆

（一）行列式判别法

对于$n$阶方阵$A$，若$|A|\ne 0$，则$A$可逆；若$|A|=0$，则$A$不可逆。这是因为逆矩阵定义中$A{A}^{-1}=E$，两边取行列式得$|A|\times |A^{-1}|=|E|=1$，所以$|A|\ne 0$。

五、矩阵方程的求解

对于矩阵方程$AXB=C$（$A$、$B$、$X$、$C$均为矩阵）：

1. 判断可逆性：计算$|A|$和$|B|$，若$|A|\ne 0$且$|B|\ne 0$，则$A$、$B$可逆。
2. 求解$X$：当$A$、$B$可逆时，方程两边左乘$A^{-1}$，右乘$B^{-1}$，得$A^{-1}AXB{B}^{-1}=A^{-1}C{B}^{-1}$，即$X=A^{-1}C{B}^{-1}$。
3. 计算$X$：求出$A^{-1}$、$B^{-1}$，按矩阵乘法规则计算$A^{-1}C{B}^{-1}$。

例如，$A=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right]$，$B=\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 4\end{array}\right]$，$C=\left[\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right]$，$A$、$B$可逆，$A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& \frac{1}{2}\end{array}\right]$，$B^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3}& 0\\ 0& \frac{1}{4}\end{array}\right]$。
$A^{-1}C=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& \frac{1}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}5& 6\\ \frac{7}{2}& 4\end{array}\right]$
$X=A^{-1}C{B}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}5& 6\\ \frac{7}{2}& 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3}& 0\\ 0& \frac{1}{4}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{5}{3}& \frac{3}{2}\\ \frac{7}{6}& 1\end{array}\right]$

通过以上全面的介绍，涵盖了逆矩阵从定义到性质、求解方法、可逆判断以及矩阵方程求解等各方面内容，有助于深入理解和运用逆矩阵知识。

接下来，换一种更直观的方式解释为什么$A^{\ast }A=A{A}^{\ast }=|A|E$，我们从二阶矩阵入手详细说明，之后再推广到$n$阶矩阵的情况。

一、二阶矩阵的情况

设二阶方阵$A=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]$。

（一）求伴随矩阵$A^{\ast }$

先求$A$中各元素的代数余子式：
-$a_{11}$的余子式$M_{11}=a_{22}$，代数余子式$A_{11}=(-1{)}^{1+1}{M}_{11}=a_{22}$。
-$a_{12}$的余子式$M_{12}=a_{21}$，代数余子式$A_{12}=(-1{)}^{1+2}{M}_{12}=-a_{21}$。
-$a_{21}$的余子式$M_{21}=a_{12}$，代数余子式$A_{21}=(-1{)}^{2+1}{M}_{21}=-a_{12}$。
-$a_{22}$的余子式$M_{22}=a_{11}$，代数余子式$A_{22}=(-1{)}^{2+2}{M}_{22}=a_{11}$。

那么伴随矩阵$$A^{\ast }=\left[\begin{array}{cc}{A}_{11}& A_{21}\\ A_{12}& A_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{a}_{22}& -a_{12}\\ -a_{21}& a_{11}\end{array}\right]$$。

（二）计算$A^{\ast }A$

$$\begin{array}{rl}{A}^{\ast }A& =\left[\begin{array}{cc}{a}_{22}& -a_{12}\\ -a_{21}& a_{11}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}{a}_{22}{a}_{11}+(-a_{12})a_{21}& a_{22}{a}_{12}+(-a_{12})a_{22}\\ -a_{21}{a}_{11}+a_{11}{a}_{21}& -a_{21}{a}_{12}+a_{11}{a}_{22}\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}& 0\\ 0& a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}\end{array}\right]\end{array}$$

而二阶矩阵$A$的行列式$|A|=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$，所以$A^{\ast }A=\left[\begin{array}{cc}|A|& 0\\ 0& |A|\end{array}\right]=|A|\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=|A|E$。

（三）计算$A{A}^{\ast }$

$$\begin{array}{rl}A{A}^{\ast }& =\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{a}_{22}& -a_{12}\\ -a_{21}& a_{11}\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}{a}_{22}+a_{12}(-a_{21})& a_{11}(-a_{12})+a_{12}{a}_{11}\\ a_{21}{a}_{22}+a_{22}(-a_{21})& a_{21}(-a_{12})+a_{22}{a}_{11}\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}& 0\\ 0& a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}\end{array}\right]\\ & =|A|E\end{array}$$